一个对小学时发现的规律的大学证明

小学时发现的一个简单数论规律，上了大学才知道如何证明。

前言

小学学数论时了解到了一个挺有意思的数论规律：

3 的倍数的各个位上的数字之和能被 3 整除。

那时小学正在学除法，了解这个规律以后我如获至宝，在一些涉及余数的选择题上所向披靡 (比如，我现在还记得的，给定一些数字，问从中选出哪些数的组合能被某个给定的数整除)。此后时常琢磨，还有没有哪些数也有类似的规律。

就这样从 1 开始一个个排除之后，我惊讶地发现，9 的倍数各个位上的数字之和能被 9 整除！

我拿着这个规律兴奋地找教数学的杨老师，她试了几个数发现确实如此，很是欣喜，却又无法满足我的好奇心：”也许你上初中就能解释了。”

同样的问题，初中数学老师研究了一晚上告诉我：”高中应该会讲这个内容，我有些忘了。”

高中时学进制系统，我在经验尝试后进一步把规律扩展为：

对 N 进制系统 $(N\ge2)$ 而言， 若 $\overline{d_{k}d_{k-1}...d_1} _{(N)}$ 为 $(N-1)$ 的倍数， (其中 $d_{i}$ 为这个数在 N 进制下从右往左数第 $i$ 位上的数)， 那么 $S_{(N)}=\sum_{i=1}^{k}d_{i}$ 可以被 (N-1) 整除， 其中 $X_{(N)}$ 中带括弧的下标是 “以 $N$ 进制系统表示” 的意思。

举些例子，在我们常用的十进制系统 下，比如 $1233$ 是 $9$ 倍数，那么 $S = 1 + 2 + 3 + 3 = 9$ 正好能被 $9$ 整除。

在一个七进制系统 下，比如 $435_{(7)}$ 是 $6$ 的倍数 (在十进制 下 $435_{(7)}$ 为 $222_{(10)}$ )，那么 $S_{(7)} = 4_{(7)} + 3_{(7)} + 5_{(7)} = 15_{(7)} = 12_{(10)} $ 正好能被 $6$ 整除。这里要注意，一个数能否被另一个数整除是这个数固有的性质，与进制表示无关。

高中时数学不是特别好，数学老师劝我多把时间放在考纲内容里，这个规律就这样又被晾在了一边。

证明

叨逼叨逼这么多，这个规律的证明其实很简单（这也可能是为什么以前搜不出证明的原因），学习过 模运算 的相关知识就行了。

记： $$ \begin{equation} n_{(N)} = \overline{d_{k}d_{k-1}...d_1} _{(N)} \end{equation} $$

同时我们有：

$$
\begin{equation}
n_{(N)} = \sum_{i=1}^{k}{d_i} \times N^{i-1}
\end{equation}
$$

那么：

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
n_{(N)}\mod (N-1) & \equiv \sum_{i=1}^{k}d_{i} \times N^{i-1} \mod (N-1) \\
& \equiv (d_{k} \times N^{k-1} + d_{k-1} \times N^{k-2} + … + d_{1} \times N^{0}) \mod (N-1) \\
& \equiv [(d_{k} \times N^{k-1}) \mod (N-1)\ + … +\ (d_{1} \times N^{0}) \mod (N-1)] \\ & \space \mod (N-1) \\
& \equiv [[d_{k} \mod (N-1) \times N^{k-1} \mod (N-1)] \\
& \space \mod (N-1) + … + [d_{1} \mod (N-1) \times N^{0} \mod (N-1)] \\
& \space \mod (N-1)] \mod (N-1) \\
& \equiv [d_{k} \times 1 \mod (N-1) + d_{k-1} \times 1 \mod (N-1) \\
& \space + … + d_{1} \times 1 \mod (N-1)] \mod (N-1) \\
& \equiv \sum_{i=1}^{k} d_{i} \mod (N-1)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

因此，若 $n_{(N)} = \sum_{i=1}^{k}d_{i} \times N^{i-1}$ 是 $(N-1)$ 的倍数（换句话说，$n_{(N)} \mod (N-1) \equiv 0$），那么 $\sum_{i=1}^{k} d_{i} \mod (N-1) \equiv 0$ 一定成立。

通过这个证明，我们可以进一步把规律总结为：

对 $N$ 进制系统 ($N\ge2$) 而言， 若 $n_{(N)} = \overline{d_{k}d_{k-1}d_{k-2}…d_{1}}_{(N)} $，

即 $n_{(N)} = \sum_{i=1}^{k}d_{i} \times N^{i-1}$，
则 $n_{(N)}$ 与 $\sum_{i=1}^{k} d_{i}$ 对 $(N-1)$ 同余。

尾声

虽然是个很简单的定理证明，但是自己想出思路填完小学的坑感觉还是很满足。

PS: Hexo + MathJaX 真的很难用，我排版成这样已经尽力了…… 如果大家有什么问题可以留言。